Read e-book online 12 × 12 Schlüsselkonzepte zur Mathematik PDF

By Oliver Deiser, Caroline Lasser, Elmar Vogt, Dirk Werner

ISBN-10: 1431441481

ISBN-13: 9781431441488

ISBN-10: 3662470764

ISBN-13: 9783662470763

ISBN-10: 3662470772

ISBN-13: 9783662470770

Wie ist ein Ring definiert, wann kann guy Grenzprozesse vertauschen, was once sind lineare Ordnungen und wozu benötigt guy das Zornsche Lemma in der Linearen Algebra?

Das Buch will seinen Lesern helfen, sich in der Fülle der grundlegenden mathematischen Definitionen zurecht zu finden und exemplarische mathematische Ergebnisse einordnen und ihre Eigenheiten verstehen zu können. Es behandelt hierzu je zwölf Schlüsselkonzepte der folgenden zwölf Themengebiete der Mathematik:

  • Grundlagen
  • Zahlen
  • Zahlentheorie
  • Diskrete Mathematik
  • Lineare Algebra
  • Algebra
  • Elementare Analysis
  • Höhere research
  • Topologie und Geometrie
  • Numerik
  • Stochastik
  • Mengenlehre und Logik
  • Ein besonderes Augenmerk liegt auf einer knappen und präzisen, dabei aber nicht zu formalen Darstellung. Dadurch erlauben die einzelnen Beiträge ein fokussiertes Nachlesen ebenso wie ein neugieriges Kennenlernen.

    Das Buch ist geschrieben für Studierende der Mathematik ab dem ersten Semester und möchte ein treuer Begleiter und eine zuverlässige Orientierungshilfe für das gesamte Studium sein.

    Die 2. Auflage ist vollständig durchgesehen und um Literaturangaben ergänzt.

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    Wie ist ein Ring definiert, wann kann guy Grenzprozesse vertauschen, was once sind lineare Ordnungen und wozu benötigt guy das Zornsche Lemma in der Linearen Algebra? Das Buch will seinen Lesern helfen, sich in der Fülle der grundlegenden mathematischen Definitionen zurecht zu finden und exemplarische mathematische Ergebnisse einordnen und ihre Eigenheiten verstehen zu können.

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    Sample text

    A/ heißt ZerlegungSvon A, falls die Elemente von Z nichtleer und paarweise disjunkt sind und zudem Z D A gilt. Das System Z beschreibt also die Einteilung von A in verschiedene „Länder“ oder „Gebiete“. Ein vollständiges Repräsentantensystem wählt aus jedem „Land“ genau einen „Bewohner“ aus. Ist Z eine Zerlegung von A, so setzen wir für alle a; b 2 A: a Z b; falls ein X 2 Z existiert mit a; b 2 X; d. , wir sehen Elemente von A als äquivalent an, wenn sie im selben Gebiet der Zerlegung liegen. Die Relation Z ist offenbar eine Äquivalenzrelation auf A.

    Dabei können wir Vergleiche oft anstellen, bevor wir zählen, messen und wiegen. Viele Dinge sind in natürlicher Weise unter sich selbst angeordnet. Die Ordnung kommt vor Zahl und Maß. Die Grundlage der mathematischen Ordnungstheorie bilden die sog. partiellen Ordnungen. Sie treten in zwei Typen auf, die dem „kleiner“ bzw. dem „kleiner gleich“ entsprechen: Eine Relation R auf A heißt eine partielle Ordnung vom strikten Typ, falls R irreflexiv und transitiv ist. Dagegen heißt eine Relation R auf A eine partielle Ordnung vom nichtstrikten Typ, falls R reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.

    Dieser Berührpunkt – das Supremum von A – soll immer eindeutig existieren. Analoges gilt für die Existenz von Infima. Die Ordnung der rationalen Zahlen ist unvollständig: A D fq 2 Q j q 2 < 2g besitzt kein Supremum und kein Infimum in Q (siehe hierzu Abschn. 8, Irrationalität der Quadratwurzel aus 2). Die Funktion f W Q ! q/ D q 2 2 für alle q besitzt also keine Nullstelle. Damit ist Q als Kontinuum ungeeignet. De facto wimmelt es nur so an derartigen Unvollständigkeiten in Q, denn eine vollständige und dichte lineare Ordnung ist, wie man beweisen kann, notwendig überabzählbar.

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    12 × 12 Schlüsselkonzepte zur Mathematik by Oliver Deiser, Caroline Lasser, Elmar Vogt, Dirk Werner


    by Ronald
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